固有値方程式にについて
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固有値方程式について
固有値方程式は最近は量子力学で演算子のバージョンをつかってきたはず.
でがハミルトニアン演算子でがエネルギー固有値なのです.
固有値方程式はその前の線形代数でも出てます.
行列の固有値は
で左の行列が量子力学での演算子,ベクトルが波動関数,λが固有値です.
そしてこのときのベクトルを行列の固有ベクトルといいます.
一般にベクトルに行列をかけても上のような固有値方程式になりません.(行列をかけて元の定数倍のベクトルに一般にはならない.)
しかしベクトルをうまくとると
その行列を作用させたときに定数倍のベクトルになる.というベクトルをうまくとることができます.
このときのベクトルと定数を行列の固有ベクトル,固有値というのです.
こう見たら量子力学のときと対応が見えると思います.
固有値方程式をとく.
まず固有値から
そうすると固有値方程式は
となる.
これを変形すると
このときの左辺は0って書いてるけど0ベクトルのことです.
そしてこれをでくくると
Eは単位行列です.
は自明(trivial)な(そりゃそうだこんなの意味ねえよっていう)解になる.
では非自明(nontrivial)な解(意味のある解)はどうするのか.
非自明な解を持つ条件から求める.
その条件は が逆行列を持たない
つまりの行列式(det)が0()となる.
というのが条件になるのです.
逆行列を持たない理由,逆行列を持たないが行列式が0ということになる理由はphysicsmashiro.hatenablog.com
に書いておく.
わかる.
もしくは後で読むからいまはこの認めて進む.
というときは飛ばしてもいい.