非自明な解があるには逆行列を持たない理由と逆行列と行列式

$Bx=0$
という式の非自明な解を持つには
Bが逆行列を持たない　->　Bの行列式が0になる(detB = 0)
という条件になる.という話をしていく.

まず行列式を持たない理由から

逆行列を持たない理由

ここは(わかるとき),(とりあえず進みたい時)は逆行列を持たないんだって解釈して飛ばしてもいい.
さっそく説明に,

Bという行列とxというベクトルを考える.
$Bx=0$
という方程式があるときにもし $B$ に逆行列があるとこの方程式に左から逆行列 $B^{-1}$ を書けて
$B^{-1}Bx = B^{-1}0\\ E x = 0\\ x=0$
Eは単位行列

となってしまうので,逆行列を持つとするとx=0になるので
x≠0な非自明な解を得るにはBは逆行列を持ってはいけないのです.

では逆行列を持たないとは?
行列式から考えよう.

けどここから書いているのは2次元だけの話だし,だいぶ大雑把なのであしからず.

行列式と逆行列の関係

まず逆行列を思い出してほしいのだけれども,
簡単な2次元の行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ は次のようにかける.
$B=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\\ B^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ {-c} & a \end{pmatrix} =\frac{1}{detB}B$
みたことあるでしょうか.
係数の分母に行列式がきているので0だと無限になってしまってダメなのです.