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非自明な解があるには逆行列を持たない理由 と 逆行列と行列式

Bx=0
という式の非自明な解を持つには
Bが逆行列を持たない -> Bの行列式が0になる(detB = 0)
という条件になる.という話をしていく.

まず行列式を持たない理由から

逆行列を持たない理由

ここは(わかるとき),(とりあえず進みたい時)は逆行列を持たないんだって解釈して飛ばしてもいい.
さっそく説明に,

Bという行列とxというベクトルを考える.
Bx=0
という方程式があるときにもしB逆行列があるとこの方程式に左から逆行列B^{-1}を書けて
B^{-1}Bx = B^{-1}0\\
E x = 0\\
x=0
Eは単位行列

となってしまうので,逆行列を持つとするとx=0になるので
x≠0な非自明な解を得るにはBは逆行列を持ってはいけないのです.

では逆行列を持たないとは?
行列式から考えよう.

けどここから書いているのは2次元だけの話だし,だいぶ大雑把なのであしからず.

行列式逆行列の関係

まず逆行列を思い出してほしいのだけれども,
簡単な2次元の行列B逆行列B^{-1}は次のようにかける.
B=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\\

B^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
{-c} & a
\end{pmatrix}
=\frac{1}{detB}B
みたことあるでしょうか.
係数の分母に行列式がきているので0だと無限になってしまってダメなのです.

少し整理しよう.
行列式detB≠0のときはBは逆行列B^{-1}をもつ
行列式detB=0のときはBは逆行列をもてない.
となる.

なので

Bx=0
という式の非自明な解を持つには
Bが逆行列を持たない -> Bの行列式が0になる(detB = 0)
という条件になる.

となる.最後は大雑把だったので
Bが逆行列を持たない -> Bの行列式が0になる(detB = 0)
ということについて詳しく知りたいときは本に頼ってください.