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1,2,...,n-2 (n:素数) が乗法に関して演算が閉じない

フェルマーの小定理で遊んでいた時に

1,2,...,n-1(n:素数)という集合は乗法(nを法にして合同)に関して群(group)をなすのだけれども

じゃあ1,2,...,n-2はどうなのかという疑問が群をなすのかという疑問が湧きまして.

まあ群をなしたらフェルマーの小定理がおかしくなってしまうのでならないのですけど

それを証明してみます.

群をなさない. 群の公理のいずれかを満たさないということなのですが今回は

1,2,...,n-2が演算が閉じなさそうなのでそれを証明します.

ここから演算と言ったら掛け算(nを法にして合同)することを積と言います.

例 n = 5の時 2 と 3の演算 → 2 * 3 \equiv 1 {\rm mod} 5

1,2…,n-2(n:素数)までの整数が乗法( 積がnを法にして合同である )に関して演算が閉じない.

証明

1,2…,n-2の集合に対して演算が閉じない.

予想 1,2…,n-2の集合の演算の結果でn-1 がでてくる. n -1 は1,2,...,n-2にないので演算は閉じていないと言える.

整数に関しての定理 a と p 互いに素な時に 1a,2a,…,(p-1)a を pで割ったあまりは 1,…,(p-1)の全てが出現する.

これを使う 1,2…,n-2 の中から任意の数aを取り出す.ここでn < aよりnとaは互いに素である。 この時 1,2,…,n-2,n-1という集合を考える. この集合の元とaの積をnで割ったあまりは上の定理より 1,…,n-1の全てが出現する.

つまり (n-1)*a をnで割ったあまりが n-1 にならなければ1a,2a,...,(n-2)aの中にあまりが n-1 になるものがあることがある.

よって全ての(n-1)*aにおいて

(n-1)*a \equiv n-1 ({\rm mod}~n)

にならなくてはいけない しかし (n-1)*a = an - aより

an - a \equiv  -a ({\rm mod}~n)

また負のあまりはnの倍数を足せば正のあまりに変えることができる. つまり

an - a \equiv n-a ({\rm mod}~n)

これよりあまりが n-1になるのはa=1の時のみ, a ≠ 1の時は あまりがn-1にならない. a > 2 において積がn-1になる組み合わせがある.つまり演算が閉じない.

証明終

思いつきでガーッと書いたのでわかりづらくなってしまったかもしれません.

今度いつかもう少しわかりやすいように書き直します.