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a+c/b+d = a-c/b-d 足し算の比と引き算の比が同じだったりするとき

計算問題を解くときに使った意外な関係式があったので紹介までに

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} の時 \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} となる。

しかもこの時(a/b = c/d)
 \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}

なんだか意外な気がします。比が同じ時はその分母分子の足し算の比が同じ。
さらにその足し算の比と差の比までもが同じ比。

面白い関係ですよね。

証明

証明

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k
とする.

これより
a = bk ~,~ c=dk

となる.

よって
\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk + dk}{b+d} = k\frac{b + d}{b + d} = k
なので
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k = \frac{a+c}{b+d}

これで足し算の比は元の比と同じことがわかった.

同じようにやると引き算の比も同じになる.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k = \frac{a - c}{b - d}

なので

 \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}

証明終わり

やっぱり意外だよね

例で見てみよう。

 \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

だから

\frac{3 - 1}{6 - 2} = \frac{3 + 1}{6 + 2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

おお。

なかなか面白い関係じゃないかい。