正準交換関係から運動量演算子の形を考える。

量子力学の授業の最初で運動量演算子\hat pの形が -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}と習うと思いますが、 これはどこからきたのかということを考えます。

代数構造の基本は正準交換関係

まず前提に量子力学の代数構造を決めるのは正準交換関係であるという話で進めていきます。

正準交換関係  [\hat x , \hat p] = i \hbar

この式が量子力学の代数の最も基本的な式でここから代数は全て出発していきます。

正準交換関係を\langle x | x' \rangleで挟む。

\langle x | [\hat x , \hat p] | x' \rangle = i \hbar \langle x| x'\rangle = i\hbar \delta (x-x')

となります。
また左辺の式は

\begin{eqnarray}
\langle x | [\hat x , \hat p] | x' \rangle &=& \langle x | \hat x \hat p - \hat p \hat x | x' \rangle \\
&=&   \langle x | \hat x \hat p - \hat p \hat x | x' \rangle\\
&=&   \langle x | x \hat p - \hat p x' | x' \rangle\\
&=&  (x - x')\langle x | \hat p | x' \rangle \\
&=&  (x - x')\langle x  | x' \rangle 
\end{eqnarray}

2行目から3行目は\langle x||x' \rangleに作用したとして\hat xx,x'に変えました。

よって

 i\hbar \delta (x-x') =  (x - x')\langle x | \hat p | x' \rangle

両辺にiをかけて\hbarで割る。そして\hat p のエルミート性を使って場所を移し(\hat p\langle x | に作用していると見ているということに注意してください)、

 - \delta (x-x') = (x - x') \Big(\frac{i}{\hbar}  \hat p  \langle x |\Big)| x' \rangle

よって

 - \delta (x-x') = (x - x') \frac{i}{\hbar}  \hat p \delta (x - x') \cdots (*)

デルタ関数\delta(x)の性質から上の式と同じ形を作る

ここでデルタ関数の性質を考えます。

 x \delta (x) = 0

より

 \frac{\partial}{\partial x}(x - x')\delta (x - x') = 0

よって

 -\delta(x-x') = (x-x')\frac{\partial}{\partial x}\delta (x - x')

この式を(*)を見比べると

\frac{i}{\hbar}  \hat p  = \frac{\partial}{\partial x}

 \hat p = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}

となります。

抑えておいてほしいこと

スタートの関係式は正準交換関係です。
ここから運動量演算子を見ることができるんですね。

ちなみに正準交換関係を満たす運動量演算子と座標演算子のペアは他にも無数にありそれらでも別に良いのです。

今回の \hat p = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}
運動量演算子\hat pをブラx  \langle x |に作用させて作ったということをしっかり抑えてください。