問題の答えと 正準交換関係
-流れ
問題の答えと(問題はこちらの記事の1番で出されています)
量子力学で最も重要な交換関係,正準交換関係について書いていきます.
1.交換子と求めましょう.(が交換するか?)
2.を求めよ.
3.を求めよ.
という問題の答えを書いていきます.
1.交換子を求めましょう.(が交換するか?)
そして偏微分は交換するので(少なくともいまやっている物理ではそう思っていい)
つまり答えは
2.を求めよ.
これは少し注意しなければなりません.なので隠れている任意の関数をしっかり書いていきましょう.
______________次に を使って
______________左辺の第1項を計算してみましょう.
______________
これを元の式に戻すと
よって
関数を省略すると
3.を求めよ.
=
よって
このようになります.
2と3は交換子の中を入れ替えただけなのでマイナスだけが変わります.これは一般の交換子にも言えることです.
また運動量と座標の交換関係を正準交換関係といい
この式は量子力学で最も重要な式になります.
では正準交換関係について
正準交換関係
いろんなところで出てきますし,この式から色々導くことができ,意味していることも多いので.
またこれはy,zにも成り立ちます.
しかし別の座標と運動量の交換子を計算すると0になります.つまり交換します.
など
実際にこうなるか自分で確かめて見ましょう.
これをまとめてみます.
のように添字で座標と運動量の成分を表現します.
そうすると正準交換関係は以下のように書けます.
またこれをクロネッカーのデルタ
をつかって正準交換関係をカッコよく書くと
となります.これも知っていると便利ですが
まずは
を覚えておくのがまず大事なので
これだけは忘れないようにしましょう.